La fonction ƒ est définie et dérivable sur R et ƒ'(x) = n (1 + x) n -1- n = n [(1 + x) n -1 - 1] Pour n ≥ 1, la fonction g: x → (1 + x)i n-1 est croissante sur [0, +∞[ donc g(x) ≥ g(0) C'est à dire (1 + x) n >-1 ≥ 1 et ƒ'(x) = n > [(1 + x) n >-1-1] ≥ 0. La fonction ƒ est donc croissante. On a donc: ƒ(a) ≥ ƒ(0) C'est à dire (1 + a) n - na ≥ 1 Ou encore (1 + a) n ≥ 1 + na Propriétés Suite convergente Soit (un)n∈N une suite de nombre réel et soit ℓ un nombre réel. La suite (un)n∈N converge vers ℓ si et seulement si tout intervalle ouvert L contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définition Autrement dit la suite (un)n∈N converge vers ℓ si et seulement si, pour tout intervalle ouvert L contenant ℓ, on peut trouver un entier n0∈ N tel que, pour tout n∈ N, si n ≥ n0, alors un ∈ i. Unicité de la limite Théorème et définition: Soit (un)n∈N une suite de nombres réels et soit ℓ ∈ R. Unite de la limite 2. Si la suite (un)n∈N converge vers ℓ, alors ℓ est unique. On l'appelle la limite de la suite (un)n∈N et on note: Remarques ● Attention!
Merci d'avance. Posté par verdurin re: Unicité de la limite d'une fonction 11-01-14 à 23:36 Salut ThierryPoma, c'est vrai que je préfère les raisonnements directs aux raisonnements par l'absurde. Je me suis laisser emporter. Posté par verdurin re: Unicité de la limite d'une fonction 11-01-14 à 23:38 @ nils290479 0 est négatif (et positif) dans les conventions habituelles en France. Posté par ThierryPoma re: Unicité de la limite d'une fonction 11-01-14 à 23:39 Salut Verdurin. Ton explication servira toujours à nils290479. Unicité de la limite.com. Bonne nuit.... Posté par nils290479 re: Unicité de la limite d'une fonction 11-01-14 à 23:40 Merci Verdurin Posté par verdurin re: Unicité de la limite d'une fonction 11-01-14 à 23:58 Service Posté par WilliamM007 re: Unicité de la limite d'une fonction 12-01-14 à 00:30 @ ThierryPoma et @ nils290479 Citation: On peut écrire ça car |l-l'| est une constante indépendante de x, et la seule manière qu'une constante soit toujours inférieure à 2 est qu'elle soit négative. D'une part, pour moi "négative" signifie en fait "négative ou nulle" D'autre part, il faut comprendre "soit toujours inférieure à 2, pour tout >0".
Dire ici que ce serait vrai seulement pour x assez proche de a n'aurait aucun sens, puisqu'on majore une quantité indépendante de x, donc ce dernier n'intervient pas. C'est la raison pour laquelle ici on peut passer à la limite 0 et en déduire |l-l'| 0 (et même =0 car une valeur absolue est nécessairement positive, mais là on voyait la quantité comme une constante, et on ne s'intéressait pas tellement à sa qualité de valeur absolue). On pourrait le voir légèrement différemment en se disant que |l-l'|< pour tout >0, c'est en fait dire que l' l, ou plutôt f(x) l, où f est la fonction constamment égale à l'. Une telle limite ne peut bien sûr se produire que si l=l'. En espérant que ce soit un peu plus clair pour nils290479... Preuve : unicité de la limite d'une fonction [Prépa ECG Le Mans, lycée Touchard-Washington]. Ce topic Fiches de maths analyse en post-bac 21 fiches de mathématiques sur " analyse " en post-bac disponibles.
Comment démontrer l'unicité d'une limite? - Quora
Tout sous-espace d'un espace séparé est séparé. Un produit d'espaces topologiques non vides est séparé si et seulement si chacun d'eux l'est. Par contre, un espace quotient d'un espace séparé n'est pas toujours séparé. X est séparé si et seulement si, dans l'espace produit X × X, la diagonale { ( x, x) | x ∈ X} est fermée [ 4]. Le graphe d'une application continue f: X → Y est fermé dans X × Y dès que Y est séparé. (En effet, la diagonale de Y est alors fermée dans Y × Y donc le graphe de f, image réciproque de ce fermé par l'application continue f × id Y: ( x, y) ↦ ( f ( x), y), est fermé dans X × Y. Unicité (mathématiques) — Wikipédia. ) « La » réciproque est fausse, au sens où une application de graphe fermé n'est pas nécessairement continue, même si l'espace d'arrivée est séparé. X est séparé si et seulement si, pour tout point x de X, l'intersection des voisinages fermés de x est réduite au singleton { x} (ce qui entraine la séparation T 1: l'intersection de tous les voisinages de x est réduite au singleton). Espace localement séparé [ modifier | modifier le code] Un espace topologique X est localement séparé lorsque tout point de X admet un voisinage séparé.
Démonstration dans le cas de deux limites finies. Soit donc $\ell$ et $\ell'$ deux limites supposées distinctes (et telles que $\ell<\ell'$) d'une fonction $f\colon I\to\R$ en un point $x_{0}$. Posons $\ds\varepsilon=\frac{\ell'-\ell}{3}>0$. Espace séparé — Wikipédia. La définition de chaque limite donne, pour ce réel $\varepsilon$: $$\ds\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in\forall x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha, x_{0}+\alpha\right], \;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$$$\ds\exists\alpha'>0\;/\;\forall x\in\forall x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha', x_{0}+\alpha'\right], \;|f(x)-\ell'|\leqslant\varepsilon$$Posons $\alpha_{0}=\min(\alpha, \alpha')>0$. Pour tout $x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha_{0}, x_{0}+\alpha_{0}\right]$, on a:\\ $$\ds\ell-\varepsilon\leqslant f(x)\leqslant\ell+\varepsilon=\frac{2\ell+\ell'}{3}<\frac{\ell+2\ell'}{3}=\ell'-\varepsilon\leqslant f(x)\leqslant\ell'+\varepsilon$$ce qui est absurde.
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