Le cours des théorème des valeurs intermédiaires avec les exercices corrigés destiné pour les étudiants du terminale s et es ainsi que les étudiants du lycée.
Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que: Sur [ 1; 5] \left[1;5\right], la fonction f f est continue et strictement décroissante. De plus, f ( 1) = 3 f\left(1\right)=3 et f ( 5) = − 2 f\left(5\right)=-2. Or 0 ∈ [ − 2; 3] 0\in \left[-2;3\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α \alpha appartenant à l'intervalle [ 1; 5] \left[1;5\right] tel que f ( x) = 0 f\left(x\right)=0.
Et la conclusion: k admet au moins un antécédent. Formulation alternative de la conclusion: l'équation f(x)=k admet au moins une solution. Bon c'est bien mais on n'utilise pour ainsi dire jamais ce théorème en exercice… Nous allons donc nous concentrer sur son corollaire! Le corollaire du TVI Nous savons donc que f est continue sur [a;b] et que k est compris entre f(a) et f(b). Nous ajoutons une condition supplémentaire: f est strictement croissante sur [a;b] comme le montre le graphique ci-dessous. Et dans ce cas, comme on peut le voir sur le graphique, k admet un antécédent unique α. NB: f pourrait aussi être strictement décroissante. Application du corollaire aux exercices Comment savoir quand il faut utiliser ce théorème? La question qui fait appel au TVI est presque toujours formulée de la même façon: montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur [a;b]. Et dans la plupart des cas il s'agit de l'équation f(x)=0. Par exemple: Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur [0;+∞[.
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