Alors la fonction g: x ↦ f ( a x + b) g: x\mapsto f\left(ax+b\right) est dérivable là où elle est définie et: g ′ ( x) = a f ′ ( a x + b) g^{\prime}\left(x\right)=af^{\prime}\left(ax+b\right). La fonction f: x ↦ ( 5 x + 2) 3 f: x\mapsto \left(5x+2\right)^{3} est définie et dérivable sur R \mathbb{R} et: f ′ ( x) = 5 × 3 ( 5 x + 2) 2 = 1 5 ( 5 x + 2) 2 f^{\prime}\left(x\right)=5\times 3\left(5x+2\right)^{2}=15\left(5x+2\right)^{2}. Continuité, dérivées, connexité - Maths-cours.fr. En particulier, si g ( x) = f ( − x) g\left(x\right)=f\left( - x\right) on a g ′ ( x) = − f ′ ( − x) g^{\prime}\left(x\right)= - f^{\prime}\left( - x\right). Par exemple la dérivée de la fonction x ↦ e − x x\mapsto e^{ - x} est la fonction x ↦ − e − x x\mapsto - e^{ - x}. Le résultat précédent se généralise à l'aide du théorème suivant: Théorème (dérivées des fonctions composées) Soit u u une fonction dérivable sur un intervalle I I et prenant ses valeurs dans un intervalle J J et soit f f une fonction dérivable sur J J. Alors la fonction g: x ↦ f ( u ( x)) g: x\mapsto f\left(u\left(x\right)\right) est dérivable sur I I et: g ′ ( x) = u ′ ( x) × f ′ ( u ( x)).
Donc \(\forall x \in]-R, R[, \, S'(x) = \sum _{n=\colorbox{yellow} 1}^{+\infty}nu_nx^{n-1}\) Remarquez bien que: S et S' ont le même rayon de convergence; la somme de la série S' dérivée débute à 1 puisque le terme constant \(u_0\) a disparu en dérivant. Exemple: Soit la série entière géométrique \(\sum x^n\) Elle est de rayon 1.
L'unique flèche oblique montre que la fonction f f est continue et strictement croissante sur] 0; + ∞ [ \left]0;+\infty \right[. − 1 - 1 est compris entre lim x → 0 f ( x) = − ∞ \lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left(x\right)= - \infty et lim x → + ∞ f ( x) = 1 \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f\left(x\right)=1. Continuité et Dérivation – Révision de cours. Par conséquent, l'équation f ( x) = − 1 f\left(x\right)= - 1 admet une unique solution sur l'intervalle] 0; + ∞ [ \left]0; +\infty \right[. 3. Calcul de dérivées Le tableau ci-dessous recense les dérivées usuelles à connaitre en Terminale S. Pour faciliter les révisions, toutes les formules du programme ont été recensées; certaines seront étudiées dans les chapitres ultérieurs.
Propriété (lien entre continuité et limite) Si f f est une fonction continue sur un intervalle [ a; b] \left[a; b\right], alors pour tout α ∈ [ a; b] \alpha \in \left[a; b\right]: lim x → α f ( x) = lim x → α − f ( x) = lim x → α + f ( x) = f ( α) \lim\limits_{x\rightarrow \alpha}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^ -}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^+}f\left(x\right)=f\left(\alpha \right). Exemple Montrons à l'aide de cette propriété que la fonction «partie entière» (notée x ↦ E ( x) x\mapsto E\left(x\right)), qui à tout réel x x associe le plus grand entier inférieur ou égal à x x, n'est pas continue en 1 1. Dérivation convexité et continuité. Si x x est un réel positif et strictement inférieur à 1 1, sa partie entière vaut 0 0. Donc lim x → 1 − E ( x) = 0 \lim\limits_{x\rightarrow 1^ -}E\left(x\right)=0. Par ailleurs, la partie entière de 1 1 vaut 1 1 c'est à dire E ( 1) = 1 E\left(1\right)=1. Donc lim x → 1 − E ( x) ≠ E ( 1) \lim\limits_{x\rightarrow 1^ -}E\left(x\right)\neq E\left(1\right).
La fonction « partie entière » n'est donc pas continue en 1 1 (en fait, elle est discontinue en tout point d'abscisse entière). Fonction « partie entière » 2. Théorème des valeurs intermédiaires Théorème des valeurs intermédiaires Si f f est une fonction continue sur un intervalle [ a; b] \left[a;b\right] et si y 0 y_{0} est compris entre f ( a) f\left(a\right) et f ( b) f\left(b\right), alors l'équation f ( x) = y 0 f\left(x\right)=y_{0} admet au moins une solution sur l'intervalle [ a; b] \left[a; b\right]. Remarques Ce théorème dit que l'équation f ( x) = y 0 f\left(x\right)=y_{0} admet une ou plusieurs solutions mais ne permet pas de déterminer le nombre de ces solutions. Dérivation et continuités. Dans les exercices où l'on recherche le nombre de solutions, il faut utiliser le corollaire ci-dessous. Cas particulier fréquent: Si f f est continue et si f ( a) f\left(a\right) et f ( b) f\left(b\right) sont de signes contraires, l'équation f ( x) = 0 f\left(x\right)=0 admet au moins une solution sur l'intervalle [ a; b] \left[a; b\right] (en effet, si f ( a) f\left(a\right) et f ( b) f\left(b\right) sont de signes contraires, 0 0 est compris entre f ( a) f\left(a\right) et f ( b) f\left(b\right)).
Pour tout k ∈ \( \mathbb{R} \) et k ∈ \( [f(a)\text{};f(b)] \) , il esxiste au moins un nombre c ∈ \( [a\text{};b] \) tel que \( f(c)=k \) . Démonstration : lien entre dérivabilité et continuité - YouTube. 2) Fonction continue strictement monotone sur \( [a\text{};b] \) La fonction f est continue et monotone sur \( [a\text{};b] \) . Si 0 ∈ \( [f(a)\text{};f(b)] \) , alors \( f(x)=0 \) admet une seule solution unique dans \( [a\text{};b] \) . Navigation de l'article
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