En mathématiques, et plus précisément en analyse, l' inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes, due au mathématicien danois Johan Jensen et dont il donna la preuve en 1906. On peut l'écrire de deux manières: discrète ou intégrale. Elle apparaît notamment en analyse, en théorie de la mesure et en probabilités ( théorème de Rao-Blackwell), mais également en physique statistique, en mécanique quantique et en théorie de l'information (sous le nom d' inégalité de Gibbs). L'inégalité reste vraie pour les fonctions concaves, en inversant le sens. C'est notamment le cas pour la fonction logarithme, très utilisée en physique. Énoncé [ modifier | modifier le code] Forme discrète [ modifier | modifier le code] Théorème — Inégalité de convexité Soient f une fonction convexe, ( x 1, …, x n) un n -uplet de réels appartenant à l'intervalle de définition de f et ( λ 1, …, λ n) un n -uplet de réels positifs tels que Alors,. De nombreux résultats élémentaires importants d'analyse s'en déduisent, comme l' inégalité arithmético-géométrique: si ( x 1, …, x n) est un n -uplet de réels strictement positifs, alors:.
$\\$ Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d'uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $p>1$, par exemple, et de leurs conséquences. Autres rapports + (2017: 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d'optimisation (par exemple de la fonctionelle quadratique), au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d'un convexe,... Par ailleurs, l'inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités. Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d'uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $p > 1$, par exemple, et de leurs conséquences.
Démontrer une inégalité à l'aide de la convexité - Terminale - YouTube
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