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Déterminer la limite de cette suite. Limites suite géométrique 2019. On sait que Un s'écrit: $U_n=-4\times 2^n$ $q>1$ donc on peut écrire que: $\lim_{n\to +\infty} 2^n=+ \infty$ Comme $U_0<0$, on en déduit que: $\lim_{n\to +\infty} U_n=- \infty$ Exemple 2: (Vn) est une suite géométrique de raison $q=0, 98$ et de premier terme $V_0=100000$. Calculer la limite de (Vn). $-1 Il est ainsi possible, connaissant u 0 (ou
u p) et
q, de calculer
n'importe quel terme de la suite. Pour une suite géométrique de raison
–0, 3 et de
premier terme u 0 = 7, on peut
écrire u n =
u 0 × (–0, 3) n et
ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel
terme de la suite. Par exemple, u 4 = 7 × (–0, 3) 4 = 7 × 0, 0081 = 0, 0567. 2. Somme des puissances d'un réel q
Soit q un
réel et n un entier naturel. On a:
S = 1 + q + q 2 +
… + q n = pour q ≠ 1. Remarque
Pour q
= 1, cette somme
vaut simplement. Limites suite géométrique st. Démonstration
q 3 +... +
q n En
multipliant S par q on obtient:
qS
= q +
q 2 + q 3 + … +
q n +1. Soustrayons membre à membre ces deux
inégalités:
S – qS = (1 + q +
q 2 + q 3 +... +
q n) – ( q +
q n +
q n +1)
Dans le membre de droite, q, q 2,
q 3,
…, q n s'éliminent. Ainsi, il reste S (1 – q) =
1 – q n +1. En divisant par 1 – q, pour q ≠ 1, on obtient. On retiendra que n + 1 est le nombre
de termes dans la somme S. La somme des 10 premières puissances
de 2 est:
S = 1 + 2 + 2 2 +
… + 2 9 =
= 2 10 – 1 = 1023. D'où: lim qn = et (un) diverge
* Si q = 1, alors pour tout n: qn = 1 et (un) converge vers u0
* Si 0
Comme: est décroissante sur] 0; [
Posons: On a alors: D'où: lim qn = 0
Et donc ( u n) converge vers 0
* Si q = 0, alors pour tout n: qn = 0
D'où: lim qn = 0 Et ( u n) converge vers 0. * Si -1 Car
Donc: lim qn = 0
D'où ( u n) converge vers 0. Limite des suites géométriques | Limites de suites numériques | Cours première S. * Si q = -1, un = -1 ou un = +1 selon la valeur de n, donc (qn) et ( u n) divergent. * Si q donc: (qn) diverge et ( u n) également. Limite d'une suite géométrique:
si un = u 0 x qn lim un = u 0 x lim qn donc:
en résumé
en conséquence
si q < -1
( q n) oscille et diverge
( u n) oscille et diverge. si -1 <
q < 1
( u n) converge vers 0.
si
q = 1
(
q n) converge vers 1
( u n)
converge vers u 0
q > 1
lim (
q n) =
q n) diverge
selon le signe de
u 0 (
u n) diverge
8/ Propriétés algébriques des limites
Les suites étant un cas particulier de fonctions: Toutes les propriétés algébriques valables pour les limites de fonctions sont valables pour les limites de suites. La limite d'une suite géométrique dépend de sa raison. On ne considérera que les suites géométriques de raison positive et strictement inférieure à 1. On considère les suites géométriques de raison q positive. Rappel: Soit une suite ( u n) géométrique de premier terme u 0 et de raison q. On a pour tout n ∈ ℕ: Une suite géométrique u de raison q est définie pour tout n ∈ ℕ par u n + 1 = u n × q. Si q = 1 alors la suite de terme général q n est constante égale à 1. Si q = −1 alors la suite de terme général q n est bornée, et vaut alternativement −1 et 1. Si q = 1 alors lim n → + ∞ q n = 1. Limites d'une suite géométrique - Les Maths en Terminale S !. Si q > 1 alors 0 1 q 1 donc lim n → + ∞ ( 1 q) n = 0. On a pour tout n ∈ ℕ, e − n = 1 e n et − 1 1 e 1 donc lim n → + ∞ ( 1 e) n = 0 soit lim n → + ∞ e − n = 0. Si 0 ⩽ q 1 alors lim n → + ∞ ( 1 + q + q 2 + … + q n) = 1 1 − q 1 Étudier la limite de suites géométriques Étudier la limite des suites de termes généraux: u n = 2 2 n; v n = 1 2 n et w n = 1 − 2 n 3 n. Pour la suite ( u n), appliquez le théorème; pour ( v n), remarquez que 1 2 n = ( 1 2) n; pour ( w n), « distribuez » le dénominateur. Soustraire membre à membre les 2 égalités:
u(n+1)=au(n)+b
r = ar + b
Posté par Sylvieg re: Limite d'une suite arithmético-géométrique 22-10-20 à 15:43 Bonjour Glapion
Posté par Glapion re: Limite d'une suite arithmético-géométrique 22-10-20 à 15:45 Bonjour Sylvieg,
tu as raison, c'est plus rapide tel que tu le proposes. Démonstration des limites d'une suite géométrique | SchoolMouv. Posté par Sylvieg re: Limite d'une suite arithmético-géométrique 22-10-20 à 15:51 Oui, mais c'est moins "naturel" que ce que tu proposes pour quelqu'un de pas rodé. Posté par Telmi re: Limite d'une suite arithmético-géométrique 22-10-20 à 16:12 Donc au final j'ai *, * \ {1},
u(n+1)=au(n)+b (1), v(n)=a^n u(0)+ k (2)
Comme a * \ {1}, u(n) converge vers k d'après l'équation (2) et par passage à la limité dans (1) on a c=ac+k comme a est bien différent de 1 alors on trouve bien
Est ce que c'est bien ça? Posté par Telmi re: Limite d'une suite arithmético-géométrique 22-10-20 à 16:17 Je viens juste de voir vos réponses je n'avais pas actualisé x(
Mais ce que j'ai fait revient à ce qu'a dit Sylvieg non? À combien revient le creusement d'un forage
de 80 mètres? Attention, il faut additionner
chacun des prix par nouveau mètre
creusé. C'est une suite géométrique,
u 1 = 20 et q = 1, 1. On remarquera que la suite commence avec u 1 et
non u 0. Le deuxième mètre
c'est u 2, ce qui est plus pratique pour
la compréhension du problème. • Si la suite commence par u 1, la formule
précédente devient
• Si q = 1, la suite est constante et. 4. Limite d'une suite géométrique et
recherche d'un seuil à l'aide d'un algorithme
a. Limite d'une suite géométrique
• Pour 0 < q < 1, la suite
géométrique a pour limite 0 quand n tend
vers l'infini:. On comprend que multiplier un nombre positif par un
nombre strictement compris entre 0 et 1 c'est
obtenir un nombre plus petit. Et le faire de nombreuses
fois c'est se rapprocher de 0. • Pour 1 < q, la suite
géométrique a pour limite quand n tend vers
l'infini:. nombre strictement supérieur à 1
c'est obtenir un nombre plus grand. Le faire de
nombreuses fois c'est obtenir un très grand
nombre.Limites Suite Géométrique Pour
C'est la cas notamment pour une suite définie par récurrence, cas que nous étudierons dans la suite de ce module. Limites suite géométrique pour. Si ( u n) est croissante et majorée par exemple par 2 alors ( u n) converge mais ne converge pas forcément vers 2. Les théorèmes suivants vont cependant nous permettre d'avoir des renseignements sur la localisation de la limite:
Soit ( u n) une suite de nombres réels convergente. Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang:
u n
M
alors: lim
un M
Il est à noter que même si tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à M, la limite de la suite peut, elle, être égale à M. En effet, si par exemple: alors, pour tout n non nul:
u n or: lim u n=0
Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang: u n > m
alors: lim un m
et conséquence des deux théorèmes:
Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang: m un M
alors: m lim un M
Ces résultats sont en particuliers utiles dans la recherche de la limite L d'une suite définie par récurrence, et souvent nécessaires pour savoir si l'on peut appliquer le théorème donnant f (L)=L.
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